¿Por qué la cardinalidad de los números naturales es distinta a la de los números reales?

Hola, en esta ocasión os traigo una pregunta respecto a un tema que se lleva en cosmología. Este tema es el Infinito. Antes que se pueda profundizar sobre dicho tema, la introducción se da en base al papel de las matemáticas.

En este caso, la pregunta que he de tratar de responder es: ¿Por qué la cardinalidad de los números naturales es distinta a la de los números reales?

Espero que les sirva.

¿Por qué la cardinalidad de los números naturales es distinta a la de los números reales?

La cardinalidad de un conjunto se refiere al número de elementos (componentes) que le corresponde al conjunto en cuestión. Esta puede ser finita e infinita, pero depende del tamaño del conjunto. Se sabe que el conjunto de los números naturales (cual se le denomina como: N) es ordenado e infinito, y debido a las matemáticas transfinitas de Cantor, es representado como "Aleph 0" (ℵ0). Pero, aunque sea un conjunto infinito, hay infinitos más grandes que éste. He aquí la aparición del conjunto de los números reales (cual se le denomina como: R), donde todo número real puede expresarse con un número decimal de infinitas cifras. Claro ejemplo de esto es: 

1 = 0.999999... 

Si se compara el conjunto de los números Naturales (N) con el de los números Reales (R), se muestra que este último conjunto es más grande debido a la cantidad infinita de valores que ha de tomar (En este caso, se comparó el 1 de los números naturales con la cifra 0.999999... de los números reales). 

Cantor afirma que el número transfinito para este conjunto de los números reales (R) es "Aleph sub 1" (ℵ1). Esto debido a que:

Números reales= números racionales + números irracionales

Los números naturales (N) pertenecen a los números racionales (Q), y este a su vez pertenece a los números reales (R). Al representarse eso, se entiende, por lógica, que:

Aleph sub 1 > Aleph sub 0.

ℵ1>ℵ0

Por tanto, la cardinalidad de los números números naturales es distinta a la cardinalidad de los números reales. Los elementos de los números naturales, aunque sean infinitos, no pueden expresarse con números decimales. Sin embargo, los elementos del conjunto de los número reales sí pueden. Lo cual, hace que tenga más valores numéricos.